Trong toán học và logic, một định lý là một mệnh đề phi hiển nhiên đã được chứng minh là đúng, hoặc trên cơ sở dẫn xuất từ các tiên đề hoặc được chứng minh trên cơ sở lấy từ từ các định lý khác.[2][3][4] Do đó, một định lý là hệ quả logic của các tiên đề, với một chứng minh của định lý là một đối số logic thiết lập chân lý của nó thông qua các quy tắc suy luận của một hệ thống suy diễn. Kết quả là, việc chứng minh một định lý thường được hiểu là sự biện minh cho chân lý của phát biểu định lý. Trong bối cảnh yêu cầu các định lý phải được chứng minh, khái niệm của một định lý về cơ bản là suy luận, trái ngược với khái niệm của một định luật khoa học là thực nghiệm.[5][6]Nhiều định lý toán học là các tuyên bố có điều kiện, có chứng minh suy ra kết luận từ điều kiện được gọi là giả thiết. Dưới góc độ của việc giải thích bằng chứng là sự biện minh của chân lý, kết luận thường được xem như một hệ quả cần thiết của các giả thuyết. Cụ thể, kết luận đó là đúng trong trường hợp các giả thuyết là đúng - mà không cần thêm bất kỳ giả thiết nào. Tuy nhiên, điều kiện cũng có thể được giải thích khác nhau trong một số hệ thống suy diễn nhất định, tùy thuộc vào ý nghĩa được gán cho các quy tắc dẫn xuất và ký hiệu điều kiện (ví dụ, logic không cổ điển).Mặc dù các định lý có thể được viết dưới dạng ký hiệu hoàn toàn (ví dụ như mệnh đề trong số học), chúng thường được diễn đạt không chính thức bằng ngôn ngữ tự nhiên để dễ đọc hơn. Điều này cũng đúng với các chứng minh, thường được diễn đạt dưới dạng các lập luận bình dân được tổ chức một cách logic và rõ ràng, nhằm thuyết phục người đọc về sự thật của độ đúng đắn của định lý không còn nghi ngờ gì nữa, và từ đó về nguyên tắc có thể xây dựng một chứng minh tượng trưng chính thức.Ngoài việc dễ đọc hơn, các đối số không chính thức thường dễ kiểm tra hơn các đối số thuần túy tượng trưng — thực tế nhiều nhà toán học sẽ bày tỏ sự ưa thích đối với một phép chứng minh không chỉ chứng minh tính hợp lệ của một định lý mà còn giải thích theo một cách nào đó tại sao nó hiển nhiên đúng. Trong một số trường hợp, người ta thậm chí có thể chứng minh một định lý bằng cách sử dụng một hình vẽ minh họa phép chứng minh của nó.Bởi vì các định lý là cốt lõi của toán học, chúng cũng là trung tâm của tính thẩm mỹ của nó. Các định lý thường được mô tả là "tầm thường", "khó", hoặc "sâu", hoặc thậm chí "đẹp". Những nhận định chủ quan này không chỉ khác nhau ở mỗi người, mà còn theo thời gian và nền văn hóa: ví dụ, khi một phép chứng minh mới được tìm ra, đơn giản hóa hoặc hiểu rõ hơn, một định lý từng được coi là khó có thể trở nên tầm thường.[7] Mặt khác, một định lý được coi là sâu có thể được phát biểu một cách đơn giản, nhưng cách chứng minh của nó có thể liên quan đến những mối liên hệ đáng ngạc nhiên và tinh tế giữa các lĩnh vực toán học khác nhau. Định lý cuối cùng của Fermat là một ví dụ đặc biệt nổi tiếng về một định lý như vậy.[8]